[8-1] 연립일차방정식의 순서쌍 개수 구하기

[8-1] 연립일차방정식의 순서쌍 개수 구하기

 

안녕하세요.

오늘 풀이할 내용은 중학교 2학년 1학기에 배우는 일차함수와 연립일차방정식 파트입니다.

연립일차방정식의 계수의 비를 구해서, 순서쌍의 개수를 바로 구하는 방법을 통해 공식을 유도할 수 있어요.

이후 유도된 공식을 이용해서 간단한 연산 문제와 응용 문제들을 풀어보도록 하겠습니다.

간단한 연산 6문항, 응용 문제 1문항 문제 및 풀이입니다.

문제 풀이 참고해서 스스로 문제를 풀려고 노력해보세요.

풀이가 이해가 되지 않거나, 궁금한 게 있으시면 질문 남겨주세요! ^^

수학을 완전히 정복하는 그 날까지 우리 모두 파이팅..

 

 

1. 공식을 유도하기 (증명 과정은 중략)

ax+by+c = 0 이고 dx+ey+f = 0 일 때,

a/d = b/e 이면 두 기울기가 같음!

b/e = c/f 이면 두 y절편이 같음!

두 연립일차방정식을 정리하여, 좌변에 y만 남겨주면, 일차함수의 형태가 됩니다.

 

두 일차함수의 기울기와 y절편을 비교해주면, 다음과 같습니다.

기울기 -> -a/b = -d/e

y절편 -> -c/b = -f/e 라는 등식 2개를 얻을 수 있습니다.

 

등식의 성질을 이용하면,

-a/b = -d/e -> a/b = d/e 이고, 양변에 b/d를 곱하면, 위의 공식을 유도할 수 있습니다.

y절편의 경우도 마찬가지로 적용해주면 됩니다.

 

직선의 방정식이 교점을 갖는 경우는 크게 3가지입니다. 평행, 일치, 하나의 교점에서 만나는 경우입니다.

순서쌍의 개수 0개 = 교점의 개수 0개 = 기울기가 같으며, 절편이 다르다. = 평행

순서쌍의 개수 무한 = 교점의 개수 무한 = 기울기가 같으며, 절편도 같다. = 일치

순서쌍의 개수 1개 = 교점의 개수 1개 = 기울기가 다르다. = 하나의 교점

 

순서쌍(or 교점의 개수)의 개수 구하는 간단한 연산을 해봅시다

일차함수에서 기울기와 y절편을 비교하여 문제를 푸는 방법과

연립일차방정식에서 x계수의 비, y계수의 비, 상수의 비를 비교하여 푸는 방법이 결과적으로 같은 원리임을 이해합시다.

 

응용 문제도 풀어봅시다

풀이 :

해가 무수히 많은 경우 기울기(x의 계수비=y의 계수비)와 y절편(y의 계수비=상수의 비)이 모두 같아야 합니다.

(a+2) / (-2) = (-3) / 1

(-3) / 1 = 3 / (b-5) 를 계산해주면, a=4, b=4 이므로 정답은 1입니다.

 

문제 출처 : (주) 길벗아카데미 8-1 기출 문제, Gun History

풀이 출처 : Gun History