[10-2, 수학(하)] 집합 간단하게 알아보기

[10-2, 수학(하)] 집합 간단하게 알아보기

 

집합 : 영어로는 Set.
수학용어의 하나로, 특정 조건에 따라 결정되는 요소들의 모임을 뜻한다.

기초 개념들 : 원소, 표기법(원소 나열법, 조건 제시법)

원소 : 특정 조건을 따라 결정되는 요소, 집합을 구성한다.
a가 집합 A의 원소일 때, 기호로 a∈A 또는 A∋a와 같이 나타낸다.

보통 집합은 대문자, 원소는 소문자로 표기한다.

집합을 표기하는 방법은 크게 두 가지가 있다.
첫 번째 : 원소 나열법
집합을 중괄호와 원소를 이용하여 서술하는 방법.

두 번째 : 조건 제시법
집합을 집합에 포함되는 원소의 조건을 이용하여 서술하는 방법. 
{원소|원소의 특성}으로 사용한다.

Ex 1)

A라는 집합의 원소가 2,3,4 라고 한다. 이를 두 가지 방법으로 서술해보자.

원소 나열법으로 표시하면, A={2,3,4}.

조건 제시법으로 표시하면, A={n∣n은 1보다 크고 4 이하인 자연수}.

부분집합 : 영어로는 Subset.
집합 A의 모든 원소가 집합 B 안에 완전히 다 속해있을 때,
집합 A의 원소가 모두 집합 B의 원소일 때,
집합 A는 집합 B의 부분집합이다.
Ex 2) A : {1,2,3,4,5} B = {1,2,3}
위 예시의 경우, 집합 B는 집합 A의 부분집합이다.

벤 다이어그램 : 부분집합

교집합 : A∩B 로 나타낸다.
두 개 이상의 집합이 공통적으로 갖는 부분을 뜻한다.
Ex 3) A : {1,2,3,4,5,6,7} B : {4,5,6,7,8,9}
: A∩B = {4,5,6,7} 이다. (because, A와 B 모두에 4에서 7까지의 자연수가 포함되어 있다.)

벤 다이어그램 : 교집합(색칠된 부분)

방금 배운 교집합과 부분집합의 성질을 이용하여, 사각형의 종류를 벤 다이어그램으로 나타내보자.

Ex 4) 사각형의 종류(정사각형, 마름모, 직사각형, 평행사변형, 사다리꼴)를 집합으로 나타내기.

각 사각형의 특징은 다음과 같다.

사다리꼴 : 마주 보는 한 쌍의 두 변이 평행하다.
평행사변형 : 마주 보는 두 쌍의 두 변이 평행하다.

명제 : 모든 사다리꼴은 평행사변형이다. -> False.
명제 : 모든 평행사변형은 사다리꼴이다. -> True.

That`s why 평행사변형은 사다리꼴의 부분집합이다.
같은 방식으로 생각해보면, 정사각형, 직사각형, 마름모 모두 평행사변형의 성질을 갖고, 이에 더해 추가 조건이 있다.
따라서, 정사각형, 직사각형, 마름모 모두 평행사변형의 부분집합이다.

정사각형 : 모든 변의 길이가 같고, 모든 내각이 직각.
마름모 : 모든 변의 길이가 같음.
직사각형 : 모든 내각이 직각

정사각형은 마름모의 조건과 직사각형의 조건을 동시에 갖춘 사각형이므로, 이를 집합으로 표현할 수 있다.
즉, 마름모 ∩ 직사각형 = 정사각형 으로 표현할 수 있다.

이를 벤 다이어그램(Venn diagram ; 집합을 원으로, 원소를 점으로 설정하여 그린 그림 모형)으로 나타낼 수 있다.

사다리꼴 - 평행사변형 - 직사각형과 마름모 - 정사각형 순으로 부분집합의 형태를 띤다.

 

더 큰 집합 안에 속해 있는 모든 집합은 전부 부분집합 관계를 갖고 있다.
이해를 돕기 위해 정사각형의 집합 관계를 정리해보면 다음과 같다.
예를 들어, 정사각형은 사다리꼴, 평행사변형, 직사각형, 마름모 의 부분집합이며, 직사각형과 마름모의 교집합이다.

지금까지 설명한 내용이 집합의 가장 기초적인 부분들입니다.
설명한 내용 외에도 집합 단원을 공부하기 위해 아래 내용들을 참고하면 좋습니다.
특히 집합 단원은 명제 단원과 맥락이 같은 과목이기 때문에, 꼭 같이 공부하면 좋습니다.

해당 단원에 포함되는 개념들 : 전체집합, 공집합, 곱집합, 멱집합, 차집합, 합집합 등
해당 단원과 관련 있는 단원 : 10-2 명제, 확률과 통계

이해가 안 되거나 궁금한 내용 있으시면 댓글로 질문 남겨주세요 ^.^

수학을 모두 정복하는 그 날까지 모두 화이팅합시다.. ㅎㅎ

 

이론 및 설명 출처 : wikipedia & Gun History