[10-1, 수학(상)] 원의 방정식 문제 풀이 (+ 중선 정리 증명하기)

[10-1, 수학(상)] 원의 방정식 문제 풀이 (+ 중선 정리 증명하기)

 

안녕하세요.

오늘 풀이할 내용은 고등학교 1학년 1학기에 배우는 원의 방정식 및 접선의 방정식 파트입니다.

원의 방정식 3문항 문제 및 풀이입니다.

문제 풀이 참고해서 스스로 문제를 풀려고 노력해보세요.

풀이가 이해가 되지 않거나, 궁금한 게 있으시면 질문 남겨주세요! ^^

수학을 완전히 정복하는 그 날까지 우리 모두 파이팅..

 

오른쪽 현(원의 일부분) 모양의 좌표 3개를 찾을 수 있다.

오른 쪽 현 모양의 곡선 OA에서 세 점의 좌표를 어렵지 않게 찾을 수 있어요.

그 세 점을 지나는 원의 방정식이 (x-a)^2 + (y-b)^2 = r^2 이므로,

원의 방정식에 세 점을 대입하여 식 3개를 만들 수 있어요. (원의 방정식의 표준형 방식으로 풀 때)

 

세 식 중에서 두 식을 골라 소거하면, a와 b 값을 구할 수 있습니다.

계산하면, a가 3인 것을 쉽게 찾을 수 있어요.

물론 a를 유도하기 위해 현의 성질을 이용하면 더 간단하게 구할 수 있어요.

문제에서의 좌표 A(3,2)는 현의 가장 높은 점이므로,

원의 중심과 A 점을 이은 선은 항상 그 부채꼴(현)을 수직이등분합니다.

따라서 좌표 A와 좌표 P의 x좌표는 같다. 라고도 유도할 수 있네요.

또는, 원의 방정식의 일반형으로도 풀 수 있어요.

x^2 + y^2 + Ax + By + C = 0 에 세 점을 대입해도 됩니다.

 

중선정리를 이용해서 구할 수도 있습니다.

중선 정리를 증명해보자.

위 문제는 특수한 형태를 띠어서 중선 정리를 이용하면 간단하게 풀 수 있어요.

중선 정리는 증명을 해두면 쉽게 이해할 수 있으니, 증명해보시길 추천드려요.

정답에 해당하는 값을 구한 뒤에, 그 값을 직선의 방정식으로 치환시켜 풀어본 방법입니다.

 

그림만 복잡하지 어렵지 않은 문제입니다.

점 P와 점 Q는 각각 원의 중심이면서, 문제에 주어진 일차함수 위의 점이에요.

그래서 각각의 좌표를 p와 q로 나타낼 수 있어요.

그렇게 나타낸 x와 y의 값을 원의 방정식 x^2 + y^2 = 3^2 에 대입하면 p와 q 값을 찾을 수 있어요.

풀이도 간단합니다.

원의 두 교점을 지나는 직선의 방정식 : 원 A = 원 B 식을 정리하여 나온 식 이며,

원의 두 교점을 지나는 원의 방정식 : 원 A + k* (원 B) = 0  으로 차이가 있습니다.

 

 

문제 출처 : 블랙라벨 수학(상), Gun History

풀이 출처 : Gun History